“L’attenzione che i matematici hanno per le qualità estetiche della loro disciplina (…) è notevole; da qui discende l’idea di molti matematici, anche contemporanei,che l’attività matematica e quella artistica siano in qualche misura molto simili, paragonabili. La creatività sarebbe il fattore che unisce Matematica e Arte, Arte e Scienza più in generale” (Emmer, 1991, p. 27).
Così scrive Michele Emmer, matematico e pensatore tra i più sensibili all’interazione tra Matematica ed Arte. Ma come collegare la Matematica e la bellezza? Nell’opera citata, Emmer affianca due citazioni che sembrano instaurare una sorta di equivalenza logica tra Matematica ed immaginazione: “La più alta categoria dell’intelletto immaginativo è sempre eminentemente matematica” (E.A. Poe). “La facoltà che mette in moto l’invenzione matematica non è il ragionamento, bensì l’immaginazione” (A. De Morgan).
La ricerca matematica, quindi, sarebbe resa possibile, verrebbe addirittura guidata dalla creatività e dall’immaginazione, così come lo è la ricerca artistica. Non possiamo certamente escludere un importante nesso tra la scoperta, l’invenzione matematica e l’atto umano dell’immaginare, del creare; ma un tale legame, se isolatamente affermato, può risultare troppo vago: in questo senso, allora, ogni espressione del pensiero umano, ogni azione, ogni riflessione appare, in ultima analisi, inscindibilmente basata sulla creatività. Limitare il legame tra la Matematica e l’Arte a questo loro comune denominatore (peraltro evidente) equivarrebbe ad affermare (…) che entrambe sono attività umane: affermazione indubbiamente vera, ma troppo generica per apparire significativa.
Non manca di notare lo stesso Emmer che “la creatività, che dovrebbe spiegare tutto, rischia di non spiegare nulla. È più significativo (…) andare a esaminare delle situazioni ben precise e analizzare possibili connessioni, piuttosto che parlare in generale di legami tra Arte e Scienza” (Emmer, 1991, p. 28). La Matematica, infatti, è un ottimo linguaggio per studiare criticamente almeno in modo parziale non poche opere d’Arte, artisti e filoni non solo del lontano passato, ma anche dell’età moderna o addirittura contemporanei.
Il linguaggio della Matematica, inoltre, mostra tutta la sua ricchezza e le sue capacità di applicarsi a campi (apparentemente) del tutto estranei al mondo delle Scienze. Qualsiasi cosa si inventi, la natura, il linguaggio e le sue creazioni sono infatti sempre collegati in una struttura unica, dalla quale appare impossibile sfuggire; ed in tale struttura non solo la Matematica rientra pienamente, ma addirittura giunge spesso ad
esser il fulcro.
Non possiamo peraltro non notare che tutto ciò può costituire un importante bagaglio didattico, ad ogni livello scolare: quando si parla del “saper vedere” in Geometria è assai facile e produttivo ricollegarsi all’esame di figure come quelle di Maurits Cornelius Escher (1898-1972), prototipo del pittore-matematico, o dello svedese Oscar Reutersvärd, con le sue affascinanti strutture impossibili ottenute mediante raffinati
artifici prospettici (la “prospettiva giapponese”).
Per quanto riguarda l’applicazione delle teorie matematiche a problemi visuali o, comunque, artistici, ricordiamo che spesso, nella storia della cultura umana, l’artista si è rivolto alla Matematica per migliorare la tecnica di rappresentazione del reale, per elaborare modelli nuovi di decorazione, oppure per dare dignità razionale al proprio operare artistico. Quando si parla di prospettiva, ad esempio, è spontaneo pensare ai
pittori-matematici del Rinascimento, prima italiano e poi tedesco, ed in particolare a Piero della Francesca (1416?-1492), artista raffinatissimo che con l’opera De prospectiva pingendi fu anche il trattatista più profondo di quel periodo (Bagni & D’Amore, 1994).
Tuttavia, l’interazione tra la Matematica e l’Arte potrebbe essere arricchita da un nuovo rapporto, ottenuto, come vedremo, invertendo i ruoli delle due discipline.
Citiamo ancora un passo di Michele Emmer, in cui lo studioso, ricordando a sua volta uno scritto di François Le Lionnais, mette in guardia i propri lettori dall’attribuire eccessiva importanza a certe notissime applicazioni della Matematica all’Arte figurativa (nel caso specifico, Emmer si riferisce alla sezione aurea: Le Lionnais, 1962): “Nel capitolo Arts et Esthétique: les Mathématiques et la Beauté, Le Lionnais risponde a chi vuol ridurre il rapporto tra Matematica e Arte alle proporzioni, ai numeri: In Matematica esiste una bellezza che non deve essere confusa con il possibile apporto della Matematica alla bellezza delle opere d’arte. L’estetica della Matematica deve essere distinta dalle applicazioni della Matematica all’estetica” (Emmer, 1991, p.55).
Dunque: dalla Matematica dell’Arte (ovvero: talvolta presente nell’Arte), all’Arte (ovvero: l’estetica) presente nella Matematica. Subrahmanyan Chandrasekhar, astrofisico indiano, premio Nobel per la Fisica nel 1983, è autore di uno stimolante libretto dal titolo Verità e bellezza (Chandrasekhar, 1990). In esso, attraverso la considerazione di numerosi esempi e la presentazione di aneddoti significativi, l’Autore esprime il proprio “pensiero generale sulle motivazioni che ispirano l’attività artistica e sui modelli di creatività che si esplicano nel campo
della Scienza” (dalla Prefazione: Chandrasekhar, 1990, p. 15). Osserva Ch andrasekhar: “La scoperta di Pitagora che corde vibranti, egualmente tese, suonano armoniosamente se le loro lunghezze sono in rapporti numerici semplici, stabilì per la prima volta una connessione profonda fra l’intelligibile e il bello” (Chandrasekhar, 1990, p. 90).
…
Ma come può la Matematica essere Arte? Non è immediato dare una risposta generale a questa domanda, soprattutto a chi non è un matematico (o, almeno, a chi non ha frequentato ben più di un biennio universitario di area matematica). Possiamo però affermare che certamente alcuni concetti propri della Matematica non possono lasciare indifferente il lettore per la loro eleganza, per l’intrinseca capacità di sintesi, per la loro assoluta, affascinante generalità. Insomma, per una loro indubbia… bellezza,
concettuale e spesso anche formale (1).
L’ordinata, sintetica, rigorosa pulizia formale di una dimostrazione, unita alla sua efficacia logica, non raramente inducono nel lettore una sensazione di ammirazione, di convinto compiacimento. Perché, dunque, non definire alcune dimostrazioni matematiche come vere e proprie opere d’Arte?
Uno dei più interessanti ed eleganti risultati matematici di ogni tempo è legato alla celebre proposizione XX del Libro IX degli Elementi euclidei (Euclide, 1970), riferita all’infinità dell’insieme dei numeri primi (Hardy & Wright, 1938; Ribenboim, 1980, p. 3; il suo ruolo nello sviluppo della Teoria dei Numeri è esaminato in: Narkiewicz, 2000)
Teorema (Euclide, 300 a.C.)
I numeri primi sono sempre più di ogni assegnata quantità di numeri primi.
Dimostrazione
Siano p1 = 2 < p2 = 3 < … < pr numeri primi. Poniamo: P = p1×p2×…×pr+1 e sia p un numero primo che divida P; allora p non può essere alcuno dei p1, p2, …, pr, altrimenti p dividerebbe la differenza P-p1×p2×… ×pr = 1, che è impossibile. Dunque questo p è un
altro primo, e p1, p2, …, pr non sono tutti i primi. n
Certamente la dimostrazione precedente deve essere considerata una gemma degli Elementi. Ricordiamo il commento di Godfrey Harold Hardy (1877-1947): “Questa è una dimostrazione per reductio ad absurdum, e la reductio ad absurdum, tanto amata da Euclide, è una delle più belle armi di un matematico. È un gambetto molto più raffinato di qualsiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può
offrire in sacrificio un pedone o anche qualche altro pezzo, ma il matematico offre la partita” (Hardy, 1989, cap. 12, pp.72 -73).
Nella stessa opera di Hardy (Hardy, 1989, p. 73) viene osservato che la dimostrazione dell’infinità dell’insieme dei numeri primi può essere condotta anche senza far ricorso alla reductio ad absurdum (come richiesto, ad esempio, da alcune moderne scuole di logica). Nei ventitre secoli che hanno seguito la redazione del capolavoro del grande Alessandrino il teorema in questione ha appassionato ancora molti matematici (alcune dimostrazioni sono riportate nel cap. 1 di Ribenboim, 1980 e in: Aigner & Ziegler, 1998, pp. 3-6).
Due millenni dopo Euclide, Leonhard Euler (1707-1783), nell’Introductio in Analysin Infinitorum (1748), dimostrò il risultato seguente (seguiremo la dimostrazione facendo riferimento a: Tenenbaum & Mendès France, 1997, pp. 23-24): Teorema (Leonhard Euler, 1748)
La serie dei reciproci dei numeri primi diverge.
…
Nelle due brillanti dimostrazioni di Euler e di Erdös, ci permette di far seguire immediatamente il risultato euclideo: se infatti l’insieme dei numeri primi fosse finito, tale sarebbe anche la somma dei reciproci di tutti i numeri primi, contro quanto sopra dimostrato.
Chiaramente le due dimostrazioni proposte non sono del tutto equivalenti a quella originale euclidea: esse infatti provano la divergenza della serie dei reciproci dei primi, e ciò è molto di più dell’infinità dell’insieme dei numeri primi. Ma le tre dimostrazioni presentate sono accomunate da una indiscutibile eleganza, seppure esse si snodino in àmbiti anche molto diversi. La dimostrazione euclidea affascina per l’assoluta essenzialità, per la perfe tta efficacia coniugata alla disarmante semplicità; quella di Euler, un po’ più complessa ma mai astrusa, è caratteristica della grande Analisi settecentesca. Quella di Erdös, davvero di rara bellezza, si snoda con grazia lieve e geniale nello spirito della Teoria dei Numeri del XX secolo. Ciascun matematico, naturalmente, sulla base della propria formazione e dei propri particolari interessi scientifici, si sentirà portato verso una delle prove sopra riportate (3); ma siamo certi che tutti i cultori della Matematica, a qualsiasi livello, non potranno non apprezzare l’eccezionale bellezza di tutte queste tre dimostrazioni (4). Hardy era solito dire che non esiste alcun posto dove conservare la matematica “brutta” (Aigner & Ziegler, 1998, p. 1). Concludiamo d unque questa riflessione con la frase che chiude Apologia di un matematico, l’ultima opera di Hardy: “La sola difesa della mia vita, allora, o di chiunque sia stato matematico nello stesso mio senso, è dunque questa: ho aggiunto qualcosa al sapere, ed ho aiutato altri ad aumentarlo ancora: il valore dei miei contributi si differenzia soltanto in grado, e nonin natura, dalle creazioni dei grandi matematici, o di tutti gli altri artisti, grandi epiccoli, che hanno lasciato qualche traccia dietro di loro” (Hardy, 1989, cap. 10, p.105).
…
Dalla Rivista di Matematica dell’Università di Parma (6) 3* (2000), 51-61
Matematica e bellezza, bellezza della Matematica
GIORGIO T. BAGNI
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA,
UNIVERSITÀ DI ROMA “LA SAPIENZA”
Scritto circa 6 mesi fa · Commenta · Mi piace
A Alessio Brugnoli piace questo elemento.
The PasseNger Times art 